GEOMETRIA

• Programma del corso
• Modalità d'esame
• Programma particolareggiato 2011\12
• Appelli precedenti
  

Programma del corso

OBIETTIVI:
Concetti fondamentali sugli spazi vettoriali, applicazioni lineari, matrici, sistemi lineari. Loro applicazione allo studio della geometria cartesiana del piano e dello spazio. Curve e superficie algebriche di ordine due.
CONTENUTI:
Algebra lineare (32 ore)
Spazi vettoriali, basi, dimensione. Applicazioni lineari, isomorfismi. Rappresentazione delle applicazioni lineari mediante matrici. Rango di una matrice. Determinanti e loro proprietà. Sistemi di Cramer, sistemi lineari omogenei. Determinazione delle soluzioni di un qualsiasi sistema lineare compatibile.
Geometria (32 ore)
Segmenti orientati e vettori geometrici. Rappresentazione cartesiana di rette e piani. Condizioni di parallelismo. Cambiamenti di riferimento. Prodotto scalare e calcolo di angoli. Spazio proiettivo e coordinate omogenee. Curve algebriche. Ordine, riducibilità e componenti. Coniche. Fasci di coniche. Superficie algebriche e classificazione delle quadriche.
PREREQUISITI:
Teoria degli insiemi. Applicazioni. Relazioni di equivalenza e partizioni. Operazioni binarie. Numeri complessi. Polinomi, divisione, radici e riducibilità.
TESTI CONSIGLIATI:
A. Basile -L.Stramaccia, Algebra Lineare e Geometria, Cup, 2015.
TESTI INTEGRATIVI:
S. Lang, Algebra Lineare, Boringhieri, Torino, 1989.
E. Martinelli, Il metodo delle coordinate, V. Veschi Ed., Roma, 1979.
MODALITÀ DI VERIFICA DEL PROFITTO:
La verifica è costituita da una prova scritta della durata di due ore e da una prova orale. Ciascuna
prova ha una sua valutazione e la valutazione finale si ottiene dalle precedenti.

Modalità d'esame

L'esame di Geometria si compone di una prova scritta ed una prova orale. Il voto finale é ottenuto mediando tra i voti delle due prove.
Non é consentita la consultazione di libri ed appunti durante lo svolgimento della prova scritta.
Nella prova scritta si considera sufficiente una votazione maggiore o uguale a 15/30. Chi ottiene una votazione minore o uguale a 14/30 è di norma sconsigliato dal sostenere la prova orale.
Nel rispetto delle regole vigenti, non si pongono restrizioni agli studenti rispetto alla possibilità di sostenere l'esame più volte nella stessa sessione.

Gli studenti che intendono sostenere la prova scritta di un appello di esame devono di norma iscriversi nella lista del SOL, pena la non ammissione. La data della prova orale verrà comunicata al termine della prova scritta.

Programma particolareggiato 2011\12

Richiami di teoria degli insiemi:applicazioni, composizione. Applicazioni iniettive, suriettive e biiettive. Invertibilit&agrave. Relazioni e Partizioni. Operazioni. Strutture algebriche. Il campo $Z_p$. Il campo dei numeri complessi $\mathbb C$. Spazi vettoriali. Lo spazio $K^n$. Spazi vettoriali di funzioni. Sistemi di generatori. Dipendenza lineare. Basi e coordinate di un vettore. Base canonica di $K^n$. Basi in sistemi di generatori(*). Teorema dello scambio(*) e dimensione. Applicazioni lineari. Spazi vettoriali n-dimensionali e isomorfismo con . Lo spazio Hom(V,W). Applicazioni lineari definite sui vettori di una base. Nucleo e immagine di una applicazione lineare. Relazione sulle loro dimensioni(*). Spazi vettoriali isomorfi e loro dimensione. Spazi vettoriali di matrici. Prodotto righe-colonne(*). Matrice di una applicazione lineare. Matrice di una applicazione lineare composta. Matrice di un cambiamento di base. Calcolo del determinante di una matrice(*). Determinante della trasposta e determinante di un prodotto(*). Invertibilità di una matrice, suo determinante, dipendenza lineare delle colonne. Sistemi di Cramer. Rango di una matrice(*). Minori di una matrice e determinazione del rango(*). Sistemi lineari omogenei e spazio delle soluzioni. Sistemi lineari non omogenei e teorema di Rouch&egrave-Capelli. Sistema omogeneo associato. Rette e segmenti orientati. Riferimenti affini e cartesiani. Lo spazio $V(\Sigma)$ dei vettori geometrici. Dimensione di $V(\Sigma)$ e isomorfismo con $R^3$. Coordinate di un vettore e degli estremi dei suoi rappresentanti. Parallelismo e complanarità fra vettori e condizioni sulle loro coordinate. Condizioni di allineamento e complanarità fra punti. Rappresentazione parametrica di rette e piani. Equazione cartesiana di un piano e parametri di giacitura. Fasci di piani e di rette. Equazioni cartesiane di una retta e parametri direttori. Condizioni di parallelismo. Cambiamenti di riferimento affine. Definizioni di angoli e di modulo di un vettore. Prodotto scalare. Distanza di due punti, sfera. Versore di una retta orientata e coseni direttori. Calcolo di angoli. Prodotto vettoriale. Ampliamento proiettivo dello spazio affine. Coordinate omogenee. Rappresentazione di rette e piani in coordinate omogenee. Complessificazione del piano reale. Rette isotrope e punti ciclici. Curve algebriche, loro ordine, riducibilità e componenti. Teorema di Bezout(*). Punti semplici e singolari(*). Condizioni analitiche per la singolarità(*). Classificazione delle coniche. Conica per cinque punti. Fasci di coniche. Configurazione dei punti base e delle coniche degeneri di un fascio.
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(*) Argomenti sui quali si richiede la conoscenza dei concetti e delle definizioni. I teoremi invece interessano solo nella loro applicazione e non nella dimostrazione. .

Appelli precedenti